已知函数f(x)=ln(2+3x)+3/2x^2

Question

若对任意x∈[1/9,1/6],不等式|a - lnx|+ln[f'(x) -3x] < 0恒成立，求实数a的取值范围 3、若关于x的方程f(x)= 2x + b在[0,1]上有根，求实数b的取值范围

Answer 1

楼下的，他说的是原方程=—2x+b在[0，1]上有根。 所以是ln(2+3x)-3/2x^2=-2x+b在[0,1]上有解 移项把b用x表示，然后求方程的值域。。。

Answer 2

解：(1).令f '(x)=3/(2+3x)-3x=0,得3-6x-9x^2=0
即3x^2+2x-1=0, (3x-1)(x+1)=0,得x1=1/3, x2=-1.
∴f(x)在[0,1]上的极值为f(1/3)=ln3-1/6.
又∵f "(x)=-9/(2+3x)^2-3,∴f "(1/3)=-1-3=-4<0,∴f(1/3)=ln3-1/6是f(x)的极大值。
(2).当x∈[1/6,1/3]时，lnx∈[-ln6,-ln3].
代入f'(x),原不等式变为︱a-lnx︱+ln[(3/(2+3x)]>0.
即 ︱a-lnx︱>ln(2+3x)-ln3......................(1)
由于x∈[1/6,1/3],∴ln5-ln2≤ln(2+3x)≤ln3.
要使不等式（1）在 x∈[1/6,1/3]时恒成立，必须：
︱a+ln3︱>ln3-ln3=0,故a可为任意实数，即a∈R.
(3).题有错！f(x)=-2x+b是一条直线，与X轴只能有一个交点，不论b为何值，
方程-2x+b=0在[0,1]上都不可能有两个不同的实数根。即使把题改成f(x)
=-2x^2+b也不可能在[0,1]上有两个不同的实数根！因为它的顶点（0,b)在
Y轴上，对称轴是Y轴，与b无关。