设A、B均为N阶实对称正定矩阵，证明：如果A—B正定，则B的逆阵减去A的逆阵正定。

Question

设A、B均为N阶实对称正定矩阵，证明：如果A—B正定，则B的逆阵减去A的逆阵正定。

Answer 1

任取非零向量α=(α1,α2,...αn),存在非零向量β=(β1,β2...βn),使得α'β=I，则有β'α=I

因为A-B正定，则有α（A-B)α'>0,则αAα'>αBα'

由A，B正定得A逆，B逆正定，则有βA逆β'>0,βB逆β'>0

所以(βA逆β')(αAα'）（βB逆β'）>(βA逆β')(αBα')(βB逆β')

由αβ'=I与βα'=I带入化简得，βB逆β'>βA逆β'

则β（B逆-A逆）β'>0

再由α的任意性知β也是任意的，故得B逆-A逆是正定的。

扩展资料：

正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

Answer 2

任取非零向量α=(α1,α2,...αn),存在非零向量β=(β1,β2...βn),使得α'β=I，则有β'α=I
因为A-B正定，则有α（A-B)α'>0,则αAα'>αBα'
由A，B正定得A逆，B逆正定，则有βA逆β'>0,βB逆β'>0
所以(βA逆β')(αAα'）（βB逆β'）>(βA逆β')(αBα')(βB逆β')
由αβ'=I与βα'=I带入化简得，βB逆β'>βA逆β'
则β（B逆-A逆）β'>0
再由α的任意性知β也是任意的，故得B逆-A逆是正定的！本回答被提问者采纳

Answer 3

任取非零向量X=(x1,x2...,xn)，易知存在非零向量Y=(y1,y2...,yn)'使得XY=1
则Y(A－B)Y'＞0,即YAY'＞YBY'，又YBY'＞0
所以1/(YBY')＞1/(YAY')
因为XY=1，所以1/(YBY')=X'B逆X，1/(YAY')=X'A逆X
故X'B逆X＞X'A逆X，即X'(B逆－A逆)X＞0
由X的任意性知B逆－A逆正定

Answer 4

做合同变换，使得C'BC=I，
那么C'AC的特征值大于1，
求逆得C^{-1}A^{-1}C'^{-1}的特征值小于1，
即C^{-1}(B^{-1}-A^{-1})C'^{-1}正定，
于是B^{-1}-A^{-1}正定。