当两个矩阵A和B相乘后，我们观察一个令人惊奇的数学关系：(AB)乘以(B的逆A的逆)的结果，实际上是单位矩阵E。让我们一步步来揭示这个神秘的等式：
(AB)(B的逆A的逆) = A(BB的逆)A的逆 = E
这个等式的关键在于，当我们先将AB与B的逆相乘，然后再与A的逆相乘，实际上相当于先将A与BB的逆相乘，因为矩阵乘法的结合律允许我们重新排列顺序。最终，我们得到了单位矩阵，也就是A和其逆的乘积。
这个发现不仅仅停留在表面，它还延伸到了矩阵的伴随矩阵。矩阵的伴随矩阵定义为行列式的逆乘以转置，所以AB的伴随矩阵，记为(Aij)*，可以通过以下方式表示：
AB的伴随 = AB的行列式 × AB的逆 = A的行列式 × B的行列式 × B的逆 × A的逆
这里，我们利用了行列式的性质和矩阵的逆的定义。进一步简化，我们有：
= (B的行列式 × B的逆) × (A的行列式 × A的逆) = B的伴随 × A的伴随
这个结果清楚地揭示了AB的伴随矩阵是由B的伴随和A的伴随简单相乘得到的，再次强调了矩阵乘法与伴随矩阵之间的深刻联系。
通过这个简单的证明，我们不仅理解了矩阵AB的逆为何等于B的逆乘以A的逆，还深化了对矩阵运算和伴随矩阵性质的理解。这不仅是理论的证明，也是实际问题解决中的重要工具，尤其是在线性代数和工程计算中。