复变函数的证明题

Question

设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0, IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z3三点是内接于单位圆IZI=1,的一个正三角形的定点

Answer 1

很简单，但是有一点我认为你可能说的不对，那就是无法求出三点在一个单位圆上
解：由于|Z1|=|Z2|=|Z3| 令|Z1|=|Z2|=|Z3|=r
设Z1=r(cosα+isinα) Z2=r(cosβ+isinβ) Z3=r(cosγ+isinγ)
因为Z1+Z2+Z3=0
则 r(cosα+cosβ+cosγ)+ir(sinα+sinβ+sinγ)=0
故 cosα+cosβ+cosγ=0 sinα+sinβ+sinγ=0
上面两式分别将cosγ sinγ移到等式的右边，再两边平方相加
得到 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1
根据两角差的余弦公式 得到 cos(α-β)=-1/2
同理得到 cos(β-γ)=-1/2 cos(γ-α)=-1/2
故这里可以知道三点对应的复数的复角的差是120度
这样 可以知道Z1 Z2 Z3不但模相等而且两两夹角相等，所以Z1,Z2,Z3构成等边三角形,并且三点都在一个圆上，该等边三角形内接于该圆

Answer 2

方法1
分别设Z=COS+isin
带入Z1+Z2+Z3=0得cos1+cos2=cos3,
sin1+sin2=sin3(虚部和实部分别为零)，
（cos1+cos2）的平方+（sin1+sin2）的平方=cos3的平方+sin3的平方=1,把（cos1+cos2）的平方+（sin1+sin2）的平方展开，cos（1-2）=0.5，所以|1-2|=120°或240°，夹角相同。所以等边。
方法2
因为1=|Z3|平方=|Z1+Z2|平方=2+（Z1Z2+Z1Z2）
所以（Z1Z2+Z1Z2）=-1
所以|Z1-Z2|平方=2-（Z1Z2+Z1Z2）=3
而|Z1-Z2|正是边长。同理可得三条边等长。

Z1Z2+Z1Z2应该是Z1的共轭*Z2+Z1*Z2的共轭。
不会打。

Answer 3

用复数的向量表示，可知三个向量首尾相接组成一个三角形，三边长度相同，则这个三角形是正三角形。

复数Z1,Z2,Z3的模相等，但未知，只能知道这三点内接于某圆心为原点的圆，该圆未必是单位圆（半径=1）

Answer 4

利用等比级数求和公式计算

Answer 5

首先|z|=根号下(x²+y²)
(|x|+|y|)/根号2
平方得到(x²+y²+2|x||y|)/2≤(x²+y²+x²+y²)/2=x²+y²
所以有(|x|+|y|)/根号2
小于等于
|z|
x²+y²≤x²+y²+2|x||y|=(
|x|+|y|)²
所以有
|z|
小于等于
|x|+|y|

Answer 6

用柯西积分公式证明