对于含有第一类间断点函数的积分问题

Question

含有第一类间断点的函数是不存在原函数的，但是是不是意味着含有第一类间断点的函数不存在定积分或者不定积分呢？
这个结论应该是错误的吧？
原函数存在只是给定积分的计算提供了一个简单的计算公式（牛-莱公式），但定积分是否存在并不一定要原函数存在，是不是这样？

Answer 1

你这里的
“可积”
和
“有原函数”
是两个概念，并不矛盾。
这里的
“可积”
指的是
“riemann可积”，即可求定积分，你提到的定理
2
给出了一个可积函数类。而
“f(x)
有原函数”
指的是
“存在函数
f(x)，使
f‘(x)
=
f(x)”。可求定积分的函数未必有原函数，例如
riemann
函数
r(x)
=
1/q，x
=
p/q，p
与
q
是互质的整数，
=
0，
x
为无理数，
在
[0,
1]
是可积的，但没有原函数。
你的
“有第一类间断点的函数一定没有原函数”
我没有找到反例，但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：
f(x)
=
(x^2)sin(1/x)，x≠0，
=
0，
x=0，
其导函数
f’(x)
=
2xsin(1/x)
-
cos(1/x)，x≠0，
=
0，
x=0，
在
x=0
有第二类间断点。

Answer 2

对于不定积分来说,连续函数必有原函数,且原函数连续.如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点,则包含该点在内的区间不存在原函数.但是对于定积分来说,在[a,b]上的连续函数和只有有限个第一类间断点的函数都是可积函数.本回答被提问者采纳