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有第一类间断点的函数可积分吗?
如题所述
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推荐答案 2019-02-04
对于不
定积分
来说,
连续函数
必有原函数,且原函数连续.如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点,则包含该点在内的区间不存在原函数.但是对于定积分来说,在[a,b]上的连续函数和只有有限个第一类间断点的函数都是可积函数.
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其他回答
第1个回答 2019-03-30
你这里的
“可积”
和
“有原函数”
是两个概念,并不矛盾。
这里的
“可积”
指的是
“Riemann可积”,即可求定积分,你提到的定理
2
给出了一个可积函数类。而
“f(x)
有原函数”
指的是
“存在函数
F(x),使
F‘(x)
=
f(x)”。可求定积分的函数未必有原函数,例如
Riemann
函数
R(x)
=
1/q,x
=
p/q,p
与
q
是互质的整数,
=
0,
x
为无理数,
在
[0,
1]
是可积的,但没有原函数。
你的
“有第一类间断点的函数一定没有原函数”
我没有找到反例,但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子:
F(x)
=
(x^2)sin(1/x),x≠0,
=
0,
x=0,
其导函数
F’(x)
=
2xsin(1/x)
-
cos(1/x),x≠0,
=
0,
x=0,
在
x=0
有第二类间断点。
相似回答
关于
函数
里出现
第一类间断点的
问题
答:
定积分的被积函数不必连续。
有有限个第一类不连续点的函数是可积的(可积函数类)
。x = 0 是函数 f 的一个不连续点,因为 f 是奇函数,应有 f(0) = 0,当然 x = 0 也在 f 的定义域中。题目的解答是不对的,不能用 “设 f 为某函数…”,可举例说 “如函数 f 为某函数…” 。...
为什么
有第一类间断点的函数
无原函数却有
积分?
答:
而
第一类间断点的
定义是函数在某点左右极限都存在,但不等於该
点函数
值。显然,如果导函数在某点左右极限存在且相等,那麼导函数在该点连续,该点就不可能是可去间断点。
...
函数
f(x)只有有限个
第一类间断点的
话,f(x)就
可积?
答:
第一个问题里说了,
可积
的情况可能含有有限个间断点。根据原函数存在定理,
含有第一类间断点
和无穷
间断点的函数
,在包含该间断点的区间内没有原函数。需要提醒题主的是,f(x)的变上限
积分函数
F(x),不等于f(x)的原函数;变上限积分函数存在,仅仅叫做可积(定积分存在),与原函数存在是两回事。...
fx
有第一类间断点
,所以
可以积分
,但是没有原
函数
,这...
答:
微积分基本定理是充分条件。不满足条件
的函数
也可能可积:如分段函数。这种
函数的可积
性是将区间分为若干部分,每部分满足微积分基本定理,再由
积分的积分
区间可加性得到积分。所以没有原函数的函数仍然可能是可积的。
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