偏导数题求解

Question

如题所述

Answer 1

楼主你好！工科留学生为你解答。

首先注意题目中f是一个任意的可导函数，其表达式不固定，可以变化。

然后根据函数u的表达式可知：
du/dx = 6*x^5*f(y^2/x)+x^6*(-y^2/x^2)*fm(y^2/x) = 6*x^5*f(y^2/x)-x^4*y^2*fm(y^2/x);
du/dy = 0+x^6*2y/x*fy(y^2/x) = x^6*2y/x*fm(y^2/x);
由于代数式y^2/x不方便写在f的下标中，就暂且用m表示，楼主只要清楚fm表示f对y^2/x求导就可以了。求导同时用the product rule 和 the chain rule 即可。

将du/dx和du/dy同时代入偏微分方程，得：x^3*[6*x^5*f(y^2/x)-x^4/y^2*fm(y^2/x)]+b*x^2*y*x^6*2y/x*fm(y^2/x) = a*x^2*x^6*f(y^2/x)，即6*x^8*f(y^2/x)-x^7*y^2*fm(y^2/x)+2b*x^2*y^2*x^7*fm(y^2/x) = a*x^8*f(y^2/x).

我们把同类项分别放在等式两边：6*x^8*f(y^2/x)+2b*x^7*y^2*fm(y^2/x) = a*x^8*f(y^2/x)+x^7*y^2*fm(y^2/x).

我们看出等式左边的第一项和右边的第一项都含有f(y^2/x)，左边的第二项和右边的第二项都含有fm(y^2/x). 由于等式的成立不受f表达式的影响，所以系数必须对应相等，即：

a=6 && 2b=1

解得：a=6，b=1/2.

希望对楼主有帮助！

来自【英语牛人团】