证明：当0<a<b时，（b-a）/b <ln（b/a）<（b-a）/a

如题所述

推荐答案 2013-12-13

令x=a/b,0<x<1;
只要证明(1-x)<(-lnx)<(1/x-1)
==>(x-1)>(lnx)>(1-1/x)即可
令f(x)=x-1-lnx; f(1)=0;
f'(x)=1-1/x 在0<x<1时，f'(x)<0,
f(x)在0<x<1区间内上减函数，
即f（x）=x-1-lnx>f(1)=0 ==>(x-1)>(lnx)
令g(x)=lnx-1+(1/x); g(1)=0;
g'(x)=1/x-(1/x^2)=(x-1)/(x^2) 在0<x<1时，g'(x)<0,
g(x)在0<x<1区间内上减函数，
即g（x）=lnx-1+(1/x)>f(1)=0 ==>(lnx)>(1-1/x)
综上可知
(1-x)<(-lnx)<(1/x-1)
(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a。（0<a<b)

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