如何判断矩阵是否为正交矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

判断一个矩阵是正交矩阵的方法如下：

1、列向量和行向量均为单位向量：正交矩阵的每个列向量和行向量的范数（长度）都为1。

2、列向量两两正交：正交矩阵的每两个不同的列向量内积为0，即彼此垂直。

3、行向量两两正交：正交矩阵的每两个不同的行向量内积为0，即彼此垂直。

4、列向量和行向量的乘积为单位矩阵：正交矩阵的列向量与行向量的乘积等于单位矩阵。

一、矩阵

矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

二、简正模式

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。

求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。