对勾函数里最小值怎么证明出来的？

Question

如题所述

Answer 1

证明：对勾函数 y=x+a/x  （a>0）

当x>0时，当x=√a时，y有最小值2√a

证明如下：

x+a/x-2√a

=(√x)²-2√x*√(a/x)+[√(a/x)]²

=[√x-√(a/x)]²≥0

∴ x+a/x≥2√a，等号当x=√a时成立

∴ x=√a时，y有最小值2√a

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0,b>0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。

Answer 2

既然是对勾函数，则
a>0,b>0;或a<0,b<0吧？
若a>0,b>0，则
①x>0时，
y=ax+b/x
≥2√(ax·b/x)
=2√(ab)(均值不等式)
即ax=b/x，x=√(b/a)时，
所求最小值为2√(ab).
②x<0时，
y=ax+b/x
=-[(-ax)+(-b/x)]
≤-2√[(-ax)·(-b/x)]
=-2√(ab).
即x=-√(b/a)时，
最大值为-2√(ab)，
此时，不存在最小值!
若a<0，b<0，则
①x>0时，结论同上述②;
②x<0时，结论同上述①。