在三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PA⊥PC,O是P在面ABC上的摄影.证明:O是△ABC的垂心

Question

如题所述

Answer 1

证明：

∵PB⊥PA,PB⊥PC

∴ PB⊥平面PAC

∴ PB⊥AC     ①

又∵O是P在面ABC上的射影

则PO⊥平面ABC

∴ PO⊥AC   ②

由①②

AC⊥平面PB

∴ AC⊥BO

同理可以证明 AO⊥BC

∴ O是△ABC的垂心

Answer 2

∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，
∴PA⊥平面PBC，PA⊥BC，
∵O是P在面ABC上的射影，
∴OA是PA在面ABC上的射影，OA⊥BC，
同理可证OB⊥AC，OC⊥AB，
故点O是△ABC的垂心。