向量代数问题

Question

若｜a︱=3,︱b︱=4,，且向量a、b垂直，求︱(a+b)(a-b) ︱
为啥不是︱a^2-b^2︱？

Answer 1

因为向量a与向量b垂直,所以ab=ba=0;
所以: |(a+b)(a-b)|=|aa+ba-ab-bb|=| |a|^2-|b|^2|=|-7|=7

首先要知道这里相乘运算到底是数量积还是向量积,题目并没有说清楚, 我这里是按数量积算的,但这两种运算都是有分配律的.不管是哪种运算,最后都是两个向量之间的运算,结果肯定不是向量,而是一个数,所以最外边的符号不是求模,而是绝对值符号.
如果是数量积的话,答案24应该就是错的,如果这是辅导书上的题,书上答案会错也不足为奇.追问

向量的数量积不满足结合律的

追答

向量的数量积是不满足结合律, 但满足分配律,这里只用到分配律,没用到结合律

追问

答案是这样给的：
因为(a+b)(a-b)=-a*b+b*a=2b*a，所以︱(a+b)(a-b) ︱=2︱b︱*︱a︱sin(a,b)=24,怎么看啊？

追答

从答案来看,它算的是向量积,不是数量积,答案是对的,所以题目还是要把问题写清楚,就像我开始说的一样.

a和b垂直,所以sin(a,b)=sin90度=1,
向量积中:ab=-ba

Answer 2

向量a、b垂直，你就把它想象成勾3股4弦5的三角形，所以a+b的模跟a-b的模都是5 ，方向相差两倍的53度（就是5跟4的角度），然後按公式相乘。其实没必要这样算，你把图画出来一看就是3x3得9。追问

答案给的是24

追答

对，我算错了，那两个向量畵出来以後要按公式算。5x5xsin（2x53）=24.03。

追问

答案是这样给的： 因为(a+b)(a-b)=-a*b+b*a=2b*a，所以︱(a+b)(a-b) ︱=2︱b︱*︱a︱sin(a,b)=24,怎么看啊？

Answer 3

就是︱a^2-b^2︱得7啊追问

答案是24

追答

是这样，因为向量没有分配率，就是（a+b)与（a-b）相乘，其实是他俩模的乘法再乘他俩的夹角，所以不能像普通乘法一样用公式。我今儿太着急了，没看到是向量，实在不好意思，以为是绝对值乘法呢。
你画一个矢量组成的直角三角形，一个边是3，一个是4，箭头首尾相接是加，把其中代表b的箭头反向，平移后再与a首尾相接就代表相减，就是（a-b)了。然后根据正弦定理算出夹角α=2*53°，5*5*cosα就对了。

追问

答案是这样给的： 因为(a+b)(a-b)=-a*b+b*a=2b*a，所以︱(a+b)(a-b) ︱=2︱b︱*︱a︱sin(a,b)=24,怎么看啊？