两个连续定义的等价推导如下：
A、F（A的内点）=F（A）的内点。F^-1(B的闭包)包含F^-1(B）的闭包。F(A）开对任意A开。
扩展资料：
1.连通关系的等价类
集合或类(以集合为例)上的等价关系R指一个具有自反,对称,传递性的二元关系,在一个定义了等价关系的集合中可以按该等价关系分成等价类(即两个元素只要有xRy,则它们属于同一等价类), 即集合的一些子集组成的集,容易证明这些子集两两不交且其并等于原集合。
一个应用:在全体集合的真类V上定义一等价关系R,若两个集合x,y间存在一一映射,则xRy.按该等价关系分成等价类,再用类上的选择公理从每个等价类中取出一个代表元素.即基于AC的集合的势的定义.
2.连通的等价定义
连续性是数学分析里面最基础的概念，很多人对于连续性的理解是这样的这个理解没有错，但是连续性有其他5-6种等价定义。考虑连续函数,这里你不妨认为。对于任意和，存在使得对于任意开集,依然是开集。对于任意闭集,依然是闭集。对于任意集合。对于任意集合成立。
还可以用滤子刻画，这个对于初学者不友好，我就不提了。这几个才是连续性的基本「结论」，因为它是等价刻画。它们和「紧性」和「连通性」等其他性质结合才产生了后续的其他性质。最重要的是两条。
连续函数把紧集映成紧集（所谓连续函数的有界和有最值本质是都是从这个来的）连续函数把连通集映成连通集（连续函数的介值性是从这个性质来的）这两条的重要性在。
它们反过来可以刻画连续性，也就说如果一个函数满足：把紧集映成紧集并且把连通集映成连通集，那么这个函数就是连续的（这个结论在某些拓扑空间上也成立）。
在遇到一个问题后，如果里面提到连续性的时候，你利用它要多从不同的定义出发去理解，这些定义是有确实用处的。你得明白一个道理「定义本身就是最大的工具」，所谓的结论只是它们的衍生品。