A. 非充分非必要.
非必要: F(x) = x²连续. 取A = (-1,1), A的内部 = A.
但F(A) = [0,1) ≠ (0,1) = F(A)的内部.
非充分: 不知道是不是我想复杂了, 这个例子构造的相当麻烦.
从解题的角度只需要上面非必要的例子就够了, 不过出于完整性考虑还是给个构造.
首先有理数Q是实数R的一个子群(关于加法).
R可以写成Q的陪集(形如S(x) = {x+r|r∈Q}的集合)的无交并.
Q是可数集, R是不可数集, 可知Q的陪集可以与R建立一一对应, 设S(x)对应到f(x)∈R.
将这个对应写成函数, 即将S(x)中的数都映到f(x), 这样得到一个R上的函数F(x).
F(x)具有性质: 在任何一个开集上, F(x)的
值域都是R.
因此F(A的内部) = R = R的内部 = F(A)的内部.
又显然F(x)不连续, 因此条件也不是充分的.
B. 充分且必要.
必要性: 若f(x)连续, 则闭集的原像是闭集.
f^(-1)(B的
闭包)是包含f^(-1)(B)的闭集, 于是也包含f^(-1)(B)的闭包(闭包为包含其的最小闭集).
充分性: 对任意闭集B, B的闭包 = B. f^(-1)(B)的闭包包含于f^(-1)(B的闭包) = f^(-1)(B).
于是f^(-1)(B)的闭包 = f^(-1)(B), 即f^(-1)(B)为闭集.
闭集的原像是闭集, 故f(x)连续.
C. 非充分非必要.
和A选项是差不多的, A的两个例子直接适用.