求函数f(x,y)=x^2+y^2-12x+16y在x^2+y^2<=25条件下的最大值和最小值.

Question

请用数分中条件极值，拉格朗日乘数法，谢谢了。

Answer 1

f(x,y)=x^2+y^2-12x+16y即(x-6^)2+(y+8)^2=100+f(x,y)
圆(x-6^)2+(y+8)^2=100+f(x,y)={根号[100+f(x,y)]}^2(圆心(6，-8),半径为根号[100+f(x,y)])与圆面x^2+y^2<=25（圆x^2+y^2=5^2围成区域，包括边界圆）有公共点，则圆(x-6^)2+(y+8)^2=100+f(x,y)={根号[100+f(x,y)]}^2与圆x^2+y^2=5^2分别外切和内切时，圆(x-6^)2+(y+8)^2=100+f(x,y)={根号[100+f(x,y)]}^2的半径
根号[100+f(x,y)]分别取最小值和最大值，
根号[100+f(x,y)]最小值=（0，0）与（6，8）的距离-5=10-5=5，
根号[100+f(x,y)]最大值=（0，0）与（6，8）的距离+5=10+5=15，
所以
f(x,y)最小值为5^2-100=-75,
f(x,y)最大值为15^2-100=125

Answer 2

设x=5sinx y=5cosx
f（xy）=16cosx-12sinx+25
所以最大值为45
最小值为-55