如图，三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点 （1）若PA＝

Question

如图，三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点 （1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；（2）若PA ，求证：平面ADE⊥平面PBC

Answer 1

（1） ， ；（2）

试题分析：(1)首先建立空间直角坐标系，给出相关点的坐标，利用空间向量求解；(2) 利用空间向量求解平面的法向量，然后根据法向量互相垂直可证明 试题解析：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC 以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系 则A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)， 从而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1)   设直线AE与PB所成角为θ， 则cosθ＝||＝ 即直线AE与PB所成角的余弦值为                5分 （2）如上图，则 A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，1， )， 设平面PBC的法向量为 ，则 令 ，则 ，所以 同理可求平面ADE的法向量 所以 ，即 于是平面ADE⊥平面PBC