（立体几何一小问）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，PA=

Question

【题干】如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，PA=二分之根号三AC，D,E,N分别为PB,PC,AC的中点，M为DB的中点。【问题】求证：平面ADE⊥平面PBC（备注：第一小问已经求证过MN∥平面ADE）

Answer 1

证明：

取DE的中点F，连接AF、PF，

∵PA=√3/2AC，

设AB=BC=AC=1，则PA=√3/2，PC=√7/2，

在△PAB和△PAC中，

AB=AC，∠PAB=∠PAC=90°，PA=PA，

∴△PAB≌△PAC（SAS），

PB=PC，

∵点D、E分别是PB、PC的中点，

∴PD=PE，AD=1/2PB=PD，AE=1/2PC=PE，

∴PD=PE=AD=AE=√7/4，

∵DE=1/2BC=1/2，

∴DF=EF=1/4，

PF²=PE²-EF²=7/16-1/16=6/16=3/8，

同理，AF²=3/8，

∵PF²+AF²=3/8+3/8=3/4，

PA²=（√3/2）²=3/4，

∴PA²=PF²+AF²，

∴PF⊥AF，

∵PD=PE，F是DE的中点，

∴PF⊥DE，

∵AF在面ADE上，DE在面ADE上，AF∩DE=F，

∴PF⊥面ADE，

∵PF在面PBC上，

∴面ADE⊥面PBC.