当x y相互独立时候用独立和卷积公式：f（z）=∫f（x）f（z-x）dx是不是只适用于z=x+y？不适用于z=ax+by（a

Question

我知道卷积公式只适用于z=x+y 不适用于z=ax+by（a，b为不为零的常数）
那当x y相互独立时候用独立和卷积公式：
f（z）=∫f（x）f（z-x）dx 是不是只适用于z=x+y？？不适用于z=ax+by（a b为不为零的常数）？？？

因为我做《概率论与数理统计辅导讲义》时遇到一题已知X Y相互独立知道f（x）和f（y） 求z=2x+y的概率密度函数。答案法一是用定义证明的 法二就是：由于XY相互独立 所以随机变量z=2x+y的密度函数f（z）=∫f(x)f(z-2x)dx=......

Answer 1

z=ax+by时，ax+by<z表示不平行于坐标轴的直线ax+by=z(z为参数)的上侧或下侧(ab非0)区域，
ax+by=z ==> y=(z-ax)/b
当ax+by<z表示不平行于坐标轴的直线ax+by=z(z为参数)的下侧(ab非0)区域时，
分布函数F(z)=P(ax+by<z)=∫∫(区域ax+by<z)f(x,y)dxdy=∫(-∞,+∞)[∫(-∞,(z-ax)/b)f(x,y)dy]dx
=∫(-∞,+∞)[∫(-∞,z)f(x,(t-ax)/b)dt]dx(y从-∞到(z-ax)/b，对应于以t为参数表示z,t从-∞到z)
=∫(-∞,z)[∫(-∞,+∞)f(x,(t-ax)/b)dx]dt,
密度函数f(z)=∫(-∞,+∞)f(x,(z-ax)/b)dx=∫(-∞,+∞)f(x)f[(z-ax)/b]dx(x y相互独立,f(xy)=f(x,(z-ax)/b)=f(x)f[(z-ax)/b])
当ax+by<z表示不平行于坐标轴的直线ax+by=z(z为参数)的上侧(ab非0)区域时，
ax+by>z表示不平行于坐标轴的直线ax+by=z(z为参数)的下侧(ab非0)区域，
P(ax+by<z)=∫∫(区域ax+by<z)f(x,y)dxdy=∫(-∞,+∞)[∫((z-ax)/b,+∞)f(x,y)dy]dx
=∫(-∞,+∞)[∫(z,+∞)f(x,(t-ax)/b)dt]dx(y从-∞到(z-ax)/b，对应于以t为参数表示z,t从z到+∞)
=∫(z,+∞)[∫(-∞,+∞)f(x,(t-ax)/b)dx]dt,
分布函数F(z)=P(ax+by>z)=1-∫(z,+∞)[∫(-∞,+∞)f(x,(t-ax)/b)dx]dt=∫(-∞,z)[∫(-∞,+∞)f(x,(t-ax)/b)dx]dt,
密度函数f(z)=∫(-∞,+∞)f(x,(z-ax)/b)dx=∫(-∞,+∞)f(x)f[(z-ax)/b]dx(x y相互独立,f(xy)=f(x,(z-ax)/b)=f(x)f[(z-ax)/b])

即x y相互独立时，z=ax+by（a b为不为零的常数）
密度函数f(z)=∫(-∞,+∞)f(x,(z-ax)/b)dx=∫(-∞,+∞)f(x)f[(z-ax)/b]dx，
但要注意当ax+by<z与ax+by>z哪个表示不平行于坐标轴的直线ax+by=z(z为参数)的下侧(ab非0)区域。

Answer 2

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