求线性变换在标准正交基下的矩阵

Question

设V是n维实内积空间，y 是V的单位向量，定义T:V→V,Tx=x-2(x,y)y,且已证明T为正交变换，求T在某个标准正交基下的矩阵。

我是这样解的，不知对否，请高手指点，谢谢！
设y=(y1,y2,……yn),且（y1^2+y2^2+……+yn^2）^1/2=1
T的某标准正交基为e1=(1,0,0……0)，e2=(0,1,0……0)……en=(0,0……1)
所以，Te1=e1-2(e1,y)y=(1-2(y1^1/2)y1，-2(y1^1/2)y2……-2(y1^1/2)yn)
=(1-2(y1^1/2)y1)*e1-2(y1^1/2)y2*e2-……-2(y1^1/2)yn*en
同理可求得其他，由此便得出矩阵。
全部的分了，谢谢！
不知这种求法对否？

Answer 1

计算正确。即T在e1,e2,……en下的矩阵是
┏ 1-2y1² -2y1y2 -2y1y3 …………-2y1yn┓
┃ -2y2y1 1-2y2² -2y2y3 …………-2y2yn┃
┃ ………………………………………………………┃
┗ -2yny1 -2yny2 -2yny3 ………… 1-2yn² ┛
你的算法与一楼的是一致的，只是你是“算到底”，他的计算具有多一点的“代数味”。
你的是“基本功”，他有点“技巧”。都是很好的结果。你就选它的吧。谢谢！

Answer 2

设 e1,e2,...,en 是V的标准正交基
设 y = k1e1+....+knen,
则 (ei,y) = ki
Te1 = e1-2(e1,y)y = e1 - 2k1 (k1e1+....+knen)
= (1-2k1^2)e1 -2k1k2e2 - ... -2k1knen
T(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) (按上写出矩阵A)
则 A = E - 2 (k1,k2,...,kn)(k1,k2,...,kn)^T
= E - 2yy^T本回答被提问者采纳