高等数学中：为什么沿着梯度方向增长？

Question

书上只是简单一个结论，说沿着梯度方向函数变化率最大，但是变化率最大，可能增加也可能减小啊，我认为书上说的增长最快是指广义的“增长”，就像物理种能量的增量也是广义的说法一样，只是变化量的意思。比如：金属板上电压分布：V=50-2 X的平方-4 Y的平方。问：沿哪个方向电压下降最快？答案是沿着梯度的反方向。。哪个方向上升最快，是沿着梯度，为什么啊！！！希望高手帮忙啊，我也在思考思考！！！

Answer 1

沿着梯度方向的 "“方向导数是正”" 的，所以函数沿着这个方向变化是真正的普通意义下的增加，不可能减少。并且是增加最快的方向。这里的增长不是广义的增长。
负梯度方向(和梯度方向相反的方向)是真的减少，并且是减少最快的方向。

Answer 2

梯度本意是一个向量（矢量），当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点处的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
注意矢量，是有方向的。