已知x-y=m,z-y=20,求x²+y²+z²-xy-yz-zx的最小值

Question

如题所述

Answer 1

解：x-y=m,z-y=20可得：
x-z=(x-y)-(z-y)=m-20

x²+y²+z²-xy-yz-zx
=(2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx)/2
=［(x-y)²+(z-y)²+(x-z)²］/2
=［m²+20²+(m-20)²］/2
=m²-20m+400
=m²-20m+100+300
=(m-10)²+300≥300
所以最小值为300

Answer 2

1.配方，对所求代数式乘以2再除以2，即有
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]/2
因为x-y=m,y-z=-8,z-x=(z-y)-(x-y)=8-m
所以所求=(m^2+8^2+(m-8)^2)/2=m^2-8m+64=(m-4)^2+48 >=48
所以最小值是48

Answer 3

x-y=m,z-y=20得 x-z=m-20
x²+y²+z²-xy-yz-zx=1/2(x-y)^2+1/2(x-z)^2+1/2(z-y)^2=[m^2+(m-20)^2+400]/2=m^2-20m+400
=(m-10)^2+300>=300
最小值为300，当m=10

Answer 4

x-y=m,z-y=20，则两式子相减，x-z=m-20
则x²+y²+z²-xy-yz-zx=1/2(2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx)=1/2[（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²）]
=1/2[m²+400+（m-20）²]=m²-20m+400=（m-10）²+300
则最小值为300（当m=10时）