高数课本上对函数幂级数的展开式唯一性的介绍如下图所示，教材上也有证明过程，证明方法是假设不唯一，相减得零可导出矛盾，故唯一。例子教材上也有，证明过程和例子太过复杂，不能打出来，有需要的请自行查看教材。
扩展资料：
幂级数的定义：
设u1(x),u2(x),......,un(x),....是定义在某区间I上的函数列，则表达式
(1)
称为定义在区间I上函数项级数。
如果式（1）上的各项un(x)都是定义在区间(-∞，+∞）上的幂函数，函数项级数
(2)
称作幂级数，其中x0为常数，a0,a1,...,an称为幂级数的系数。
