设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA。请写出详细证明过程。

Question

如题所述

Answer 1

这个直接双向证明就行了.

证明: (A+B)^2=A^2+B^2+2AB
<=> A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+2AB
<=> AB+BA=2AB
<=> BA = AB #追问

这里的A、B是n阶方阵对这个证明有什么影响啊？

追答

对证明的影响? 什么意思?

是指运算的有意义?
那就是 A 必须是方阵 A^2 才有意义.
A+B 必须 A,B 同型
故 A,B必须是同阶方阵.

Answer 2

充分性：
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+2AB
必要性：
因为(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA，(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
所以AB=BA追问

这里的A、B是n阶方阵对这个证明有什么影响啊？

Answer 3

充分性：
AB=BA
A^2+B^2+2AB=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+AB+BA=(A^2+AB)+(B^2+BA)=A(A+B)+B(B+A)=A(A+B)+B(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)^2;
必要性：
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+2AB.
只有方阵才能取平方。