如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形，用三角板和圆规画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形

Question

参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质．
专题：探究型．
分析：根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定其全等了．
先利用SAS来判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE=∠AFG，FE=FG．再利用ASA来判定△CFG≌△CFD得到FG=FD所以FE=FD．
解答：解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图，
（1）结论为EF=FD．
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中， {AG=AE∠1=∠2AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中， {∠GFC=∠DFCFC=FC∠3=∠4，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

（2）EF=FD仍然成立．
如图3，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中， {∠GEF=∠HDF∠FGE=∠FHD=90°FG=FH，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
点评：此题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等．

Answer 2

从F分别向AC，BC引垂线，分别相交于点M，N

由三角形角分线相交于一定定理可得，CF比为∠ACB的角平分线，则FM=FN

∠FDM=∠ACB+∠CAD

     =1/2∠A+∠C

∠FEN=∠CAB+∠ABE

     =1/2∠B+∠A

∠FDM-∠FEN=1/2∠A+∠C-（1/2∠B+∠A）

           =∠C-1/2（∠A+∠B）

           =∠C-1/2（180-∠C）

           =3/2∠C-90

直角三角形一直角边和其对角都相等则两个直角三角形全等

1）∠C=60，则 ∠FDM-∠FEN=3/2×60-90=0

   即∠FDM=∠FEN

   所以△FDM≌△FEN

2）非直角三角形结果一样，只要∠C=60，FE=FD

Answer 3

分析：根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形确定，它们关于OP对称．
（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在AC上截取AG=AF，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；
（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．
解：如图．
（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠EAF=∠CAF= 1/2∠BAC=15°，∠DCF=∠ACF= 1/2∠ACB=45°．
∴∠AEF=∠B+∠DCF=60°+45°=105°，
∴∠EFA=180°-∠AEF-∠EAF=60°．
（2）FE=FD．
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
由（1）知∠EAF=∠GAF，
又∵AF为公共边，
∴△EAF≌△GAF，
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
由（1）知∠DCF=∠GCF，
又∵CF为公共边，
∴△FDC≌△FGC，
∴FD=FG．
∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．
又由（1）知∠FAC= 1/2∠BAC，∠FCA= 1/2∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= 1/2（∠BAC+∠ACB）= 1/2（180°-∠B）=60°．
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．

Answer 4

1）FE＝FD；辅助线可以是过F点分别做AB和CB的垂线，与之交于E‘和D’点，然后证明△FE'E和△FD'D全等就可以了。
2）仍然成立，可以算出仍有∠EFE'＝∠DFD'