求解一道关于椭圆的数学题，急

Question

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e等于二分之根三。已知点a（0,3/2）到这个椭圆上的点最长距离为根号下七，求这个椭圆方程。

Answer 1

已知点a（0,3/2）到这个椭圆上的点最长距离为根号下七
则(√7)²=a²+(3/2)²
解得a=√19/2
又知e=c/a=√3/2
所以c=a√3/2=√57/4
b²=a²-c²=19/4-57/16=19/16
椭圆方程为x²/(19/4)+y²/(19/16)=1追问

不一定吧，椭圆是不确定的，你到椭圆上的点的距离不一定就是到x轴交点的距离，我分情况讨论了，我觉得这个椭圆可以放大或缩小。但是A点在椭圆外，在到（0，-b）和（a，0）距离相等以内时发现很复杂，应该可以推翻这种情况不成立。你试着证一下

追答

已知点在y轴上，确实有两种情况要考虑
第一种情况我做了
如果是(0, 3/2)与(0,-b)距离最长
则3/2+b=√7
b=√7-3/2
b²=37/4-3√7
又知c/a=√3/2
c²=3a²/4
所以b²=a²-c²=a²-3a²/4=a²/4
即a²=4b²=37-12√7
此时椭圆方程为x²/(37-12√7)+y²/(37/4-3√7)=1
本人认为这种情况不成立。

Answer 2

b=3/2，b^2=9/4，
e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4，
所以，a^2=9，
方程为 x^2/9+y^2/(9/4)=1。追问

你哪来的b=3/2？

追答

椭圆的焦点在x轴，中心在原点，那就是标准的椭圆，
A（0，3/2）就是其短轴端点，b不就是3/2了么？

追问

你仔细看题了吗？已知点A（0,3/2）到这个椭圆上的点最长距离为根号下七

追答

哦，错了，这个点未必在椭圆上。
容我想想。。。。。。。
设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，
由e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4得 a^2=4b^2，
所以，椭圆方程可化为 x^2+4y^2=4b^2.
设P（x,y)是椭圆上任一点，则
|PA|=√[x^2+(y-3/2)^2]，
所以，|PA|^2=x^2+(y-3/2)^2=(4b^2-4y^2)+(y-3/2)^2=-3y^2-3y+4b^2+9/4=-3(y+1/2)^2+4b^2+3
因此，当y=-1/2时，|PA|^2取最大值4b^2+3，
由已知，4b^2+3=7，解得b^2=1，
所以，椭圆方程为 x^2/4+y^2=1。