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如何利用中值定理证明不等式
用中值定理
,
证明不等式
答:
当x>1时.在区间[1,x]上,由
中值定理
可得 f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ), (1<ξ<x)易知,f'(ξ)=(e^ξ)-e>0 ∴(x-1)f'(ξ)>0 ∴f(x)>f(1)=0 ∴当x>1时,恒有(e^x)-ex>0 即e^x>ex 综上可知,原
不等式
成立 ...
利用
拉格朗日
中值定理证明不等式
答:
1、对于任意的x>0,取函数f(t)=arctant,t∈[0,x].f(x)-f(0)=f'(ξ)×x,ξ∈(0,x).即arctanx=x/(1+ξ^2).1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.2、取函数f(x)=lnx,x∈[a,b]f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).f'(ξ)...
怎么用
拉格朗日
中值定理证明不等式
?
答:
=ln[x(x+1)]-lnx 根据拉格朗日
中值定理
ln(x+1)=ln[x(x+1)]-lnx =ln'e[x(x+1)-x] ① x<e<x(x+1) ② 1/x(x+1)<ln'e=1/e<1/x //根据e倒数 - 改变②
不等式
不等式两边同乘以[x(x+1)-x]x/x+1< ln'e[x(x+1)-x]=ln(x+1)< x ...
如何用
微分
中值定理证明不等式
?
答:
要证明不等式(1+x)^n ≥ 1+nx,可以利用微分中值定理
。首先,我们定义一个函数f(x) = (1+x)^n - (1 + nx)。我们需要证明的是f(x) ≥ 0对于所有x > -1 和 n ≥ 1成立。根据微分中值定理,如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,并且在区间(a, b)上可微分,那么在(a, b)上...
用
拉格朗日
中值定理证明不等式
答:
定理的现代形式如下:如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续,在开区间(a,b)上可导,那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a) 。1797年,拉格朗日
中值定理
被法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中首先给出,并提供了最初的
证明
。现代形式的拉格朗日中值定理是由...
拉格朗日
中值定理如何证明不等式
的
答:
u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1 (2).第二个
不等式
可由(1)得出,下面证第一个不等式:设g(x)=(1+x)*ln(1+x)对任意b>0 根据
中值定理
,存在v,满足01 (g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)
高等数学第三章微分
中值定理
.
证明不等式
答:
所以,(e^x-e)/(x-1)>e,得e^x>ex.方法二:设f(t)=e^t-et,t∈[1,x],拉格郎日
中值定理
(e^x-ex)/(x-1)=e^ξ-e>0,得到结论 方法三:取对数,设f(t)=lnt,t∈[1,x],拉格郎日中值定理 lnx/(x-1)=1/ξ<1,得lnx<x-1,化为指数运算即得结论 ...
应用拉格朗日
中值
公式
证明
下列
不等式
答:
解:由拉格朗日
中值定理
:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0<a<b故f'(ξ)∈(1/b,1/a)故有:1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a成立即:(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a成立...
用中值定理证明不等式
答:
构造F(x)=tanx
利用
罗尔
中值定理证明
过程如下图:
如何用中值定理证明不等式
答:
应用微分
中值定理证明不等式
时,函数f(x)的选取方法,介绍一些
用
初等数学方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式,而用微分中值定理可以简捷地解决的情形,其中关键是要选择好函数f(x)。微分中值定理是:“若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,...
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