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矩阵AB等于E可以推出A可逆吗
A,B都
是
n阶矩阵,满足
AB
=
E
,求证
矩阵A可逆
,且A的逆
矩阵等于
B
答:
detA·detB = det(
AB
) = det(E) = 1 所以det(A) ≠ 0 所以
A可逆
A·B
=
E
设B'·A = E 则B' = B'·E = B'·(A·B) = (B'·A)·B = E·B = B 所以 AB = BA = E 所以A的逆
矩阵等于
B
如何证明
矩阵A可逆
? 只要找到一个阵B 使
AB
=
E
就行吗?这个题可不
可以
这样...
答:
可以. 这是定理.
AB
=
E
, 则
A可逆
, 且A^-1=B.若是只证明 A-2E 可逆, 你那样证明
是可以
的.可以这样完成(2)由原式 2A^-1B = B-4E 得 A = 2B(B-4E)^-1 = 2(B-4E)^-1B 将 (B-4E, 2B) 化
为
(E,X) 得A.
A,B都
是
n阶矩阵,满足
AB
=
E
,求证
矩阵A可逆
,且A的逆
矩阵等于
B
答:
detA·detB = det(
AB
) = det(E) = 1 所以det(A) ≠ 0 所以
A可逆
A·B
=
E
设B'·A = E 则B' = B'·E = B'·(A·B) = (B'·A)·B = E·B = B 所以 AB = BA = E 所以A的逆
矩阵等于
B
矩阵AB
=
E
能否说A或者B
可逆
?
答:
至少A,B应该是方阵吧??不然不存在可逆!下面的 A^(-1)*A*B=A^(-1)*
E
=A^(-1)也就不成立了!--- 如果是方阵的话,是满足的!!就是说
AB
=E,就有:A,B都
是可逆
的,并且他们互
为
逆
矩阵
.
AB
=
E
,
能
说A,B互相
是
对方的逆
矩阵吗
???
答:
如果A,B均
为
方阵,那么A,B就互为对方的逆
矩阵
如果不是方阵,那么就不能这么说。比如A为4x3的矩阵,B为3x4的矩阵,
AB
=
E
,那么显然,AB不能互为对方的逆矩阵。但如果是方阵,两边左乘A,或者右乘B就得到结论了。
AB
=
E
且A、B都
可逆
,
能不能
证明A,B互
为
逆
矩阵
?
答:
证明:由
A B
=
E
,|A||B|=|E|=1≠0,必有|A|≠0,|B|≠0,根据定理方阵A,B
可逆
的充分必要条件
是
|A|≠0,|B|≠0,得A,B都可逆,又 A-1 = A-1 E = A-1(A B)=(A-1 A)B = E B = B,说明 A的逆
矩阵等于
B证毕!上面A-1代表是逆矩阵的意思。
如何证明
矩阵A可逆
?
答:
证明:A的行列式不
等于
0,而|E|=1,|P|,|Q|不等于0,所以|A|不等于0,
A可逆
,A可逆充要条件
是
|A|不等于0.这里P,Q都是可逆的,所以A=P-1Q-1,A-1=QP。因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积。所以A可逆|A|≠0A的特征值都不等于0。(当
矩阵
行列式不为零,就
可以推出
伴随阵来计算...
矩阵
方程,E=BA,为什么
可以
得出A^(-1)=B,矩阵不
是
不可以约分和交换吗
答:
首先,可逆及逆
矩阵
的定义是:A^(–1)A=AA^(–1)=E. 可逆的充分必要条件是|A|≠0. 如果
AB
=
E
, 两边求行列式得|A||B|=1,所以|A|≠0, 所以
A可逆
,也就
是
A^(–1)存在,在AB=E两边左乘A^(–1)即得A^(–1)AB=A^(–1)E,即可得到B=A^(–1)....
可逆
阵
可以
经过初等变换吗?
答:
假设
A可逆
,那么有
AB
=
E
其中B
为
A的逆矩阵,且B为右乘,也就是对A进行列变换。初等变换不改变矩阵的秩,
可逆矩阵
经过有限次的初等行列变换,可得到单位矩阵,矛盾吗: 例如,这个问题可以这样认为 一次初等变换可逆矩阵必须仍然可逆的,数量有限的初等变换。所有初等行变换,等价于用一个初等矩阵左乘该矩阵...
线性代数中,从
矩阵AB
=
E可以推出
AB=BA吗
答:
可以。不妨证明如下命题:若
AB
=
E
(或BA=E),则B=A^-1。(所证的即指A,B互逆)证明:|A||B|=|E|=1,故|A|不
为
0,因而A的逆
矩阵
存在,于是 B=EB=(A^-1*A)B=A^-1(AB)=A^-1E=A^-1,同理,A=B^-1。即证!参考:同济大学线性代数第五版教材 ...
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