设AB均为n阶正定矩阵,则答:①矩阵A,B均为正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵!证明 因为A,B正定, 所以 A^T=A,B^T=B (必要性) 因为AB正定, 所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.(充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB 所以 AB 是对称矩阵.由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=...
刘老师请教一道线代问题:A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定...答:设A,C为n阶正定矩阵,且B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,求证B是正定矩阵。因为B是矩阵方程AX+XA=C的唯一解,且转置AB+BA=C后利用A,C对称知B^T也是矩阵方程的解,于是B=B^T.即B对称,如果B不正定,则存在非正特征值a,设其特征值为t(t≠0),则Ba=ta,转置后有a^TB=ta^T.则a^TCa=a^...
若A,B都是n级正定矩阵。证明:若AB可交换,则AB也是正矩阵答:即AB相似于一正定矩阵,由这一点可以得出AB的所有特征值全部大于0,AB又是对称矩阵,根据正定矩阵的相关定理,说明AB是一正定矩阵.必要性:由AB是正定矩阵推出AB为对称矩阵,又有充分性证明中,A=PtP,B=QtQ两个条件,因此就有AB=PtPQtQ=(AB)t=(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA,即AB=BA说明A,B可换 ...