如果A，B都是n级正定矩阵，且AB=BA，则AB也是正定矩阵．

Question

A.

Answer 1

【答案】：因为AB=BA则(AB)=B^'A^'=BA=AB即BA为实对称的．其次由于AB都是正定的故存在实可矩逆矩阵PQ使A=P^'PB=Q^'Q于是AB=P^'PQ^'Q与QP^'PQ^'=Q(P^'PQ^'Q)Q^-1=QABQ^-1相似从而两者都有相同的特征根．但是QP^'PQ^'=(PQ^')^'(PQ^')为正定矩阵其特征根都是正实数故AB的特征根都是正实数从而AB为正定矩阵．
因为AB=BA,则(AB)=B'A'=BA=AB,即BA为实对称的．其次,由于A,B都是正定的,故存在实可矩逆矩阵P,Q,使A=P'P,B=Q'Q于是AB=P'PQ'Q与QP'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1相似,从而两者都有相同的特征根．但是QP'PQ'=(PQ')'(PQ')为正定矩阵,其特征根都是正实数,故AB的特征根都是正实数,从而AB为正定矩阵．