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AB的值等于B的秩的充要条件
线性代数,矩阵合同的 必要 充分和
充要 条件
?
答:
使得 P'AP=B 则称方阵
A与B
合同,记作 A≃B。在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同
的充要条件
是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等
秩
。
两个同型矩阵等价的
的充
分必要
条件
是
秩
相等。但是对于如图举证的
AB
并...
答:
其实这两个矩阵是等价的,你可以先把
B的
第三列减去第一列,然后第三行再减去第一行就得到A了,希望你亲自按照我说的试一下!
A,B是n阶非零矩阵,
AB
=0,A的秩加上
B的秩
小于
等于
n成立吗
答:
成立。定理:如果
AB
=0,则
秩
(A)+秩(B)≤n 证明:将矩阵
B的
列向量记为Bi ∵AB=0 ∴ABi=0 ∴Bi为Ax=0的解 ∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解 ∴秩(B)≤n-秩(A)即秩(A)+秩(B)≤n
矩阵
的秩等于
它的行秩吗?
答:
矩阵B可逆,
AB的
秩等于A
的秩
,那么A可逆
的充要条件
是A可以写成初等阵的乘积。AB
等于B
左乘初等矩阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积,同理秩不变。
矩阵等价
的充要条件
是
秩
相等吗
答:
即R(A)=R(PAQ)=R(B)。必要性:设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵,这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样,B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵,因为
B的秩
是m,所以B化成的最简型也是C。也就是说,A与C等价,B与C等价,所以,
A与B
也等价。
等价矩阵
的充要条件
答:
等价矩阵
的充要条件
为:同型矩阵且
秩
相等。矩阵等价的充要条件为:同型矩阵且秩相等。相似必定等价,等价不一定相似。两矩阵等价,秩相等,列向量,行向量极大线性无关组数相等。若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则
A与B
等价。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B。1、等价矩阵的性质。矩阵A...
线性表示
的充要条件
是什么?
答:
向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示
的充要条件
是矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩
等于
矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。向量组B能由向量组A线性表示,则向量组
B的秩
不大于向量A的秩。反之不一定成立。一个向量可由向量组中其余向量线性...
如何证明向量组线性表示
的充要条件
是矩阵
秩
?
答:
向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示
的充要条件
是矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩
等于
矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。向量组B能由向量组A线性表示,则向量组
B的秩
不大于向量A的秩。反之不一定成立。一个向量可由向量组中其余向量线性...
线性方程组Ax=
b
有解
的充
分必要
条件
是什么?
答:
线性方程组Ax=
b
有解
的充
分必要
条件
是:增广矩阵
的秩等于
系数矩阵的秩。即 r(A,b) = r(A)对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解,则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r,则r=n时,有唯一解;r<n时,有无穷多解;可用消元法求解。
线性方程组Ax=
b
有解
的充
分必要
条件
是什么?
答:
线性方程组Ax=
b
有解
的充
分必要
条件
是:增广矩阵
的秩等于
系数矩阵的秩。即 r(A,b) = r(A)对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解,则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r,则r=n时,有唯一解;r<n时,有无穷多解;可用消元法求解。
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