设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的...答:(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.(2)λ=0.此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0.从而det...
...非齐次线性方程组AX=b对任何b都有解的充要条件是|A|不等于0...答:充分性:∵A是n阶矩阵,且|A|≠0 ∴秩r(A)=n,即满秩,∴增广矩阵r(A,b)=n ∵r(A)=r(A,b)=n ∴非齐次线性方程组Ax=b对任何b都有解.必要性:假设|A|=0,即r(A)<n,若此时给出一个b无法用A的向量线性表示,即增广矩阵r(A,b)>r(A)那么此时非齐次线性方程组Ax=b就无解,请看...