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r(AB)
为什么若A可逆,则
r(AB)
=r(B)呢?怎么形象一点理解吗?
答:
若A可逆,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积 对矩阵B左乘以一个初等矩阵,等价于对B做一次相应的初等行变换 由于对矩阵做初等变换不改变它的秩 所以,
r(AB)
=r(B)
为什么A可逆,则
R(AB)
=R(B)?
答:
因为A可逆,所以r(A)=n,又因为
r(AB)
<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))【重要定理一】;①假设r(B)<n,则r(AB)<=r(B),又因为r(AB)>=r(A)+r(B)-n【重要定理二】所以,r(AB)>=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则,r(AB)=r(B);②假定r(B)>n.则r(AB)<=n,而又因为r(...
r(AB)
与r(AB)的关系是什么?
答:
r(A,B)>=r(A+B)。r(A,B)>=r(B)>=
r(AB)
。r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆,AB的秩等于A的秩,那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积,同理秩...
线性代数,11题,
r(ab)
为啥等于r(a)?
答:
B是行满秩矩阵,所以
r(AB)
=r(A)
r(ab)
= r(a),为什么不对?
答:
所以[A
AB
]和[A A]在秩的角度等价。2、AB的行向量可以由A的行向量表示,说明AB行秩小于等于A的行秩,既然是行秩,则AB的秩大小和行向量相对位置可能会发生变化,所以b选项不对,如果改成
r(
[A BA])=r(A),(其中A和AB是上下分布的分块矩阵(A在上AB在下))则正确 ...
矩阵:求
r(AB)
答:
R(AB)
=1 A可逆,R(B)=1 矩阵乘可逆阵R不变
为什么
R(AB)
≤R(A)
答:
证明:如果
AB
=0,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设
r(
A)=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解,所以:r(B)<=n-r=n-
r(
A)。因此,r(A)+r(B)<=n。线性无关一般是指向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
矩阵的秩
r(AB)
与r(A+B)与r(A,B)有什么关系
答:
r(A,B)>=r(A+B)r(A,B)>=r(B)>=
r(AB)r(AB)
与r(A+B)没有直接关系。第一个不等式,将矩阵写成列向量形式[a1,a2,...,an,b1,b2...,bn]和[a1+b1,a2+b2,...,an+bn]明显看到后面矩阵n个向量中的每个向量都是前面矩阵2n个向量的线性组合,就是后边矩阵的列向量组可以被前边...
一个关于线性代数的问题,详见问题补充
答:
若 A 列满秩, 则
r(AB)
= r(B)证明: 只要证明 ABX=0 与 BX=0 同解即可.一方面, 显然BX=0的解是ABX=0的解.另一方面, 设X1是ABX=0的解, 则ABX1=0.所以 A(BX1)=0 因为 A 列满秩, 所以Ax=0只有0解.所以有 BX1=0.即X1是BX=0的解.因此有 r(AB)=r(B).对应有: 若A行满...
线代中
R(AB)
和R(BA)有什么关系?
答:
关系:r(A,B)>=r(A+B)r(A,B)>=r(B)>=
r(AB)r(AB)
与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆,AB的秩等于A的秩,那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的...
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