证明:
如果AB=0,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。
设r(A)=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解,
所以:r(B)<=n-r=n-r(A)。
因此,r(A)+r(B)<=n。
扩展资料:
矩阵运算在科学计算中非常重要 ,而矩阵的基本运算包括矩阵的转置,共轭和共轭转置等。
①转置:
把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵 ,这一过程称为矩阵的转置
矩阵的转置满足以下运算律:
②共轭:
③共轭转置:
参考资料:百度百科-矩阵(数学术语)
证明:
如果AB=0,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。
设r(A)=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解,
所以:r(B)<=n-r=n-r(A)。
因此,r(A)+r(B)<=n。
线性无关一般是指向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
扩展资料
矩阵方程的角度:
记AB=C,则对于矩阵方程AX=C,
存在解X=B
所以由线性方程组的性质知必有
R(A)=R(增广矩阵)=R(A,C),
显然有R(A,C)≥R(C)
所以得R(A)≥R(C)
所以R(AB)≤R(A)
参考资料来源:百度百科-矩阵