为什么函数有下界和上界呢？

Question

如题所述

Answer 1

如果有上界，上界将有无数个，同理，如果有下界，下界也将有无数个。
先来看有界的定义，及其中上下界的定义：

设f(x)是区间E上的函数。若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
根据定义可知，如果那个常数M，使得不等式f(x)≤M成立，那么这个M就可以称为f（x）的上界。
那么假设我们已经找到了一个M，使得不等式f(x)≤M成立，这样M是这个函数的上界。那么请问，常数M+1是否能满足不等式f(x)≤M+1呢？很明显，也能满足，任何比M大的常数，都能满足比f（x）大的要求。所以一旦我们找到一个上界M，那么所有比M大的常数都是这个函数的上界。而这些上界中有一个最小的，被称为上确界。
下界也是一样。