大一数学：f(x)在[0,1]连续且单调递减，试证对任何0<a<1，有∫[a,0]f(x)dx ≥ a∫[1,0]f(x)dx

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推荐答案 2014-12-07

设F(a)=∫(0,a)f(x)dx/a
则：
F‘(a)=[af(a)-∫(0,a)f(x)dx]/a^2
=∫(0,a)(f(a)-f(x))dx/a^2
因为x《a,f(x)在[0,1]是单调递减,故f(a)-f(x)<0,
F‘(a)<0，函数F(a)=∫(0,a)f(x)dx/a在[0,1]单调增加。
当0<a<1时，有F(a)《F(1)=∫(0,1)f(x)dx

即：∫(0,a)f(x)dx《a∫(0,1)f(x)dx

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