设f(x)在[0,1]上连续且单调递减，则函数F(t)=t∫{0→1}[f(tx)-f(x)]dx在(0,1)内？

Question

设f(x)在[0,1]上连续且单调递减，则函数F(t)=t∫{0→1}[f(tx)-f(x)]dx在(0,1)内单调增加？单调减少？有极小值？极大值？

Answer 1

​由于题目中假设f(x)在[0,1]上连续且单调递减，因此f’(x) ≤ 0 对于所有 x ∈ [0,1] 成立。
让我们来分析 F’(t) 的符号和是否有极值：
F’(t) > 0：如果 F’(t) > 0 对于 t ∈ (0,1) 成立，则 F(t) 单调增加。为了证明这一点，我们需要证明 ∫[01] [f’(tx)x - f’(x)]dx > 0 对于 t ∈ (0,1)。由于 f’(x) ≤ 0 和 f’(tx) ≤ 0，我们可以得出 ∫[01] [f’(tx)x - f’(x)]dx > 0。
F’(t) < 0：如果 F’(t) < 0 对于 t ∈ (0,1) 成立，则 F(t) 单调减少。为了证明这一点，我们需要证明 ∫[01] [f’(tx)x - f’(x)]dx < 0 对于 t ∈ (0,1)。由于 f’(x) ≤ 0 和 f’(tx) ≤ 0，我们可以得出 ∫[01] [f’(tx)x - f’(x)]dx < 0。
由于 f(x) 在[0,1]上连续且单调递减，我们推断 F’(t) 不会为零，因此 F(t) 不会有极值。
综上所述，函数 F(t) = t∫[01] [f(tx) - f(x)]dx 在 (0,1) 内单调增加或单调减少，并且没有极值。单调性的具体情况取决于 t 和 f(x) 的具体选择。