在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA

Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（　　） A． 1 5 B． 2 5 C． 5 5 D． 2 5 5

Answer 1

以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点， AB=AC=1，PA=2， ∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， D（ 1 2 ，0，0），E（ 1 2 ， 1 2 ，0 ），F（0， 1 2 ，1）， ∴ AP =（0，0，2）， DE =（0， 1 2 ，0）， DF =(- 1 2 ， 1 2 ，1) ， 设 n =(x，y，z) 是平面DEF的一个法向量， 则 n ? DE =0 n ? DF =0 ，即 1 2 y=0 - 1 2 x+ 1 2 y+z=0 ， 取x=1，则 n =(1，0， 1 2 ) ， 设PA与平面DEF所成的角为θ， 则 sinθ=|cos＜ AP ， n ＞|=| 1 2× 1+ 1 4 |= 5 5 ． 故选：C．