求助高数第二类曲面积分

Question

求助高数第二类曲面积分第15题我想练练手，然后试着不用高斯公式，然后把积分曲面分成了两块来求曲面积分。但是算的和结果相差3倍，求大神帮我算下😂

Answer 1

曲面分为两块，∑1在圆锥面，∑2在球面上。
在∑1上，取下侧，法向量是(x,y,-z)，所以，
∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy
＝∫∫[x×(-x/z)+y×(-y/z)+z]dxdy
＝∫∫[-(x²+y²)/z+z]dxdy
＝∫∫[-z+z]dxdy＝0。
在∑2上，取上侧，法向量是(x,y,z)，∑2的方程是z=√(R²-x²-y²)，它在xOy面上的投影区域是x²+y²≤R²/2。所以，
∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy
＝∫∫[x×x/z+y×y/z+z]dxdy
＝∫∫(x²+y²+z²)/zdxdy
＝R²∫∫1/√(R²-x²-y²)dxdy
＝R²∫(0到2π)dθ∫(0到R/√2) ρ/√(R²-ρ²)dρ
＝2πR³(1-√2/2)。追问

大神，你那个(-x/y)是什么东西啊。我学的直接法是，看与对应坐标轴正向夹角的正负，然后在前面添加正负号化成二重积分，每个积分分开来单独讨论

追答

那是最基本的方法，就是挺麻烦的，需要把被积函数拆开，积分曲面也拆为上下或者前后或者左右两块。你的结果错了，就应该是少算了几个面，正确的做法是：
锥面∑1上，计算∫∫xdydz，拆分∑1，一个是x＝√(z²-y²)的前侧，一个是x＝-√(z²-y²)的后侧。计算∫∫ydzdx，拆分∑1，一个是y＝√(z²-x²)的右侧，一个是y＝-√(z²-x²)的左侧。计算∫∫zdxdy，曲面取下侧。
球面∑2上，计算∫∫xdydz，拆分∑2，一个是x＝√(R²-y²-z²)的前侧，一个是x＝-√(R²-y²-z²)的后侧。计算∫∫ydzdx，拆分∑2，一个是y＝√(R²-x²-z²)的右侧，一个是y＝-√(R²-x²-z²)的左侧。计算∫∫zdxdy，曲面取上侧。
一共要计算10个面上的积分，或者用对称性，计算6个面上的积分。

我用的是对坐标的曲面积分的第二种方法，把三种积分都转化为对同一个坐标的曲面积分，dydz＝cosα/cosγdxdy，dzdx＝cosβ/cosγdxdy，其中的cosα，cosβ，cosγ是曲面指定侧的方向余弦。

追问

好吧，这种情况我还是老老实实用高斯公式吧🙏