积分号省略,(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy,积分区域是锥面z=根号下(x^2+y^2)(0<=z<=h)的外侧。
答案说积分区域在yOz平面及zOx平面的投影均为三角形区域,由于将积分区域分为前后或者左右两部分,而所求积分第一项被积函数不含x,第二项被积函数不含y,故这两项积分为0,这是为什么?
## 第二类曲面积分
注意第二类曲面积分向重积分转换过程中曲面的“侧”的影响:前侧为正后侧为负。以(z^2-x)dzdx为例,参考下图分析:
这实际上可以归纳为第二类曲面积分的一个性质:
如果积分曲面关于坐标面x=0(即YOZ平面)对称,而被积函数为关于x的偶函数,则该第二类曲面积分为0;相应地,若被积函数关于x为奇函数,则第二类曲面积分结果为一半曲面上积分的2倍。关于坐标面y=0,z=0具有类似的结论。
是不是有点第一类曲面积分中奇偶对称性的影子?不过它们实际上是不同的原理。
追问您讲的这些我都理解了,这道题用高斯公式很容易解决,我只是无法理解写这个答案的人,为什么说“第一项被积函数不含x,第二项被积函数不含y,故这两项积分为0”,也许我不该深究?
追答你确定理解了我上面写的?我上面正是回答了“第一项被积函数不含x,第二项被积函数不含y,故这两项积分为0”这个问题。第一项被积函数不含x表明该被积函数是x的偶函数,然后使用我上面写出的第二类曲面积分的性质即可
追问这一句话让我顿悟了“第一项被积函数不含x表明该被积函数是x的偶函数“,十分感谢!