矩阵可以对角化的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

可对角化的充要条件如下：

其一是n阶方阵存在n个线性无关的特征向量，其二是如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

对角化介绍：

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵，如果对于，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵，使的结果为对角矩阵，则称矩阵将矩阵对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

充要条件介绍：

充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件简称：充要条件，反之亦然。

如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件。充分必要条件是逻辑学在研究假言命题及假言推理时引出的。陈述某一事物情况是另一件事物情况的充分必要条件的假言命题叫做充分必要条件假言命题。充分必要条件假言命题的一般形式是：p当且仅当q。