微观经济学效用函数的题

Question

已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为p1=20元和p2=30元，该消费者的效用函数为U=3X1X2X2(3乘以X1乘以X2的平方），该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是什么？
需要详细解释

Answer 1

这个问题的符号很难打啊。有些我都打不出来，见谅。

我用X代表商品1，Y代表商品2。这样你比较好认。

效用函数：U=3XY^2
预算方程：20X+30Y=540
由此，建立拉格郎日函数：L=3XY^2+r(540-20X-30Y)，r为拉格朗日乘数。

效用最大化的一阶条件（我实在打不出来，汉字描述哈）：
有三个式子，就是L(X，Y，r)分别对X、Y、r求偏导数并且都等于0。

据此可以得出X和Y的值。我算了一下，应该是X=9，Y=12。（效用最大化的条件实质就是两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。）

然后把这两个值代入效用函数，求得总效用。
U=3XY^2=3×9×144=3448

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

Answer 2

楼主你好，解答如下
可以
根据效用理论，效用一般分为基数效用理论和序数效用理论，而我们现在常用的是序数效用理论，即效用大小只表示偏好排序，其本身具体数值没有意义。所以对效用函数进行单调变换，所表示的偏好相同。单调变换中常用的有加上一个常数，指数化，乘以一个系数等。本题中所用的单调变换就是乘以一个系数（0.5），所以表示的偏好相同。
相关可以参考任何一本微观经济学教材效用论的引言部分。

Answer 3

额。。翻一下大学的微积分吧。。高中不学这个东西...这个叫偏导...其实很简单..譬如一个方程是f(x,y)
=
x^2
+
y^2..那df/dx
=
2x,
df/dy
=
2y...求偏导的时候就是把除了变量以外的所有东西都看成是实数...所以题中，当你求MU1的时候，X1是变量，剩下的全都当成实数...所以这个方程就是一个aX^n的模式，求导之后就等于anX^(n-1)

Answer 4

可以看到这个U的函数中，总效用是由两个部分组成的。
设总收入为Z
将y^0.5表示成X的函数
X=0时，U0=Z^0.5
X=1时，U1=15/14*(Z-2000)^0.5
X=2时，U2=10/9*(Z-4000)^0.5
为了求这个临界点，将两个式子联立（U=U），因为X已经被替换掉了。
约去公约数后，可以得到Z(0-1)=15517
Z(1-2)30509.1
也就是说收入达到15517时买1辆车，达到30509时买第二辆车。

Answer 5

他们的最优商品购买量都为：X=20，Y=10，求解过程如下：
消费者甲：根据MUX/MUY=PX/PY，即（1.5X^O.5*Y)/X^1.5=3/4，
整理：2Y=X，
（1）
又因为3X+4Y=100，
（2）
联立（1）（2），得：X=20,Y=10
消费者乙：根据MUX/MUY=PX/PY，即（6X^5*Y^4+1.5/X）/(4X^6*Y^3+1/Y)=3/4，
整理：2Y=X，
（3）
又因为3X+4Y=100，
（4）
联立（3）（4），得：X=20,Y=10
所以，甲乙的最优商品购买量都为：X=20，Y=10。