第1个回答 2021-12-12
可利用对称性。解答如下
第2个回答 2021-12-12
如此。
追问
为什么这个a^2不和前面的一起提出去，而留在里面等待积分呢？
第3个回答 2022-10-02
可用对称性方法本回答被提问者采纳
第4个回答 2021-12-12
在定积分的应用中，主要讲的是求平面图形的面积和旋转体的体积，在《定积分的应用：求平面图形的面积》中已经介绍了平面图形面积的求法。本文主要介绍如何求旋转体的体积。
一、求旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该直线称为旋转轴。
1.绕x轴旋转体积
第一种：计算由曲线y=f(x)>0，直线x=a，x=b以及X轴所围成的曲边梯形绕X轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x为积分变量，则，对于区间上的任意一区间[x,x+dx]，它所对应的窄曲边梯形绕X轴旋转一周生成的薄片体积近似于以f(x)为底面半径，dx为高的圆柱体的体积，即dV=，
所以旋转体的体积为：。
第二种：计算由曲线y=f(x)>0，y=g(x)>0，（f(x)g(x)），直线x=a，x=b所围成的图形绕X轴旋转一周而生成的立体的体积。
类似于第一种的解法：dV=，即。
2.绕y轴旋转体积
第一种：由曲线x=f(y)，y=c，y=d以及Y轴所围图形绕Y轴旋转一周所生成的立体的体积。
类似于微绕X轴旋转时的求法：dV=，
旋转体的体积。
第二种：由曲线x=f(y)，x=g(y)，（f(y)g(y)），y=c，y=d所围图形绕Y轴旋转一周所生成的立体的体积。
同样类似的方法得到：dV=，即旋转体的体积。
可以结合下图中给的相关例题进行练习巩固，例题如下：
一、求旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该直线称为旋转轴。
1.绕x轴旋转体积
第一种：计算由曲线y=f(x)>0，直线x=a，x=b以及X轴所围成的曲边梯形绕X轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x为积分变量，则，对于区间上的任意一区间[x,x+dx]，它所对应的窄曲边梯形绕X轴旋转一周生成的薄片体积近似于以f(x)为底面半径，dx为高的圆柱体的体积，即dV=，
所以旋转体的体积为：。
第二种：计算由曲线y=f(x)>0，y=g(x)>0，（f(x)g(x)），直线x=a，x=b所围成的图形绕X轴旋转一周而生成的立体的体积。
类似于第一种的解法：dV=，即。
2.绕y轴旋转体积
第一种：由曲线x=f(y)，y=c，y=d以及Y轴所围图形绕Y轴旋转一周所生成的立体的体积。
类似于微绕X轴旋转时的求法：dV=，
旋转体的体积。
第二种：由曲线x=f(y)，x=g(y)，（f(y)g(y)），y=c，y=d所围图形绕Y轴旋转一周所生成的立体的体积。
同样类似的方法得到：dV=，即旋转体的体积。
可以结合下图中给的相关例题进行练习巩固，例题如下：
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