抛物线与圆有四个交点

Question

充要条件为什么是有联立方程后有两个不同的正根

Answer 1

我猜你题目中的圆的圆心在x轴上，即圆的方程为（x-a)^2+y^2=r^2.
你的抛物线主轴为x轴，顶点在原点，开口朝x轴正方。即为y^2=2px(p>0).

将抛物线的方程代入圆方程得一元二次方程：x^2-2(a-p)x+a^2-r^2=0
x轴是圆和抛物线的的公共对称轴，所以两者不在对称轴上的交点必定对称成对出现。

充分性：当方程有两个不同的正根x1和x2时，必有四个交点（x1,±y1）（x2,±y2）.
必要性：当圆与抛物线有4个交点，由于成对对称性，必是两对（x1,±y1）（x2,±y2），所以方程有两个不同的正根。

Answer 2

你所述的有两个不同的正根肯定是关于X的方程，因为这些交点肯定是关于Y轴对称，右边有两个，左边肯定还有两个，所以就是四个了。

Answer 3

因为圆的圆心与抛物线的中心可能不重合，且抛物线的轴也可能与坐标轴不重合。
但是我认为如果上面两个条件成立，即两个都重合，联立方程后应该有两个重根啊，而不是两个不同的正根。不解

Answer 4

这类问题一个通常的做法是
求出抛物线与椭圆的四个交点，代入圆方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2解出圆心半径
不过这题有个非常简单的方法
抛物线方程x^2-y=2(1)
椭圆方程x^2/4+y^2=1(2)
将式子(1)乘以3/4加式子(2)，得到
x^2+y^2-(3/4)y=5/2(3)
即x^2+(y-3/8)^2=(13/8)^2
这就是题目所求的圆方程
这样求得的一定是满足条件的圆，
因为抛物线和椭圆的交点是方程组(1)，(2)的解
而同时满足方程(1)，(2)的数组必定满足方程(3)
——注意到(3)是(1)，(2)的线形组合
也就是说抛物线(1)和椭圆(2)的交点一定在圆(3)上
至于在(2)式上乘以3/4是为了使得到的方程是圆方程
即x^2的系数与y^2的系数相等
如果老师出题厚道的话这一题应该在填空选择题当中，
因为知道方法的话解只要半分钟，不知道的话要半小时...

Answer 5

有时候是有四个交点。。。 。。。
比如x=y^2与（x-2）^2+y^2=9/4就有四个交点