sinx*cosπx的是周期函数吗？周期函数相乘的周期怎么计算？

Question

如题所述

Answer 1

sinxcosπx不是周期函数。假定函数f(x)的周期为T1、g(x)的周期为T2，如果存在正整数a和b，满足aT1=bT2，则f(x)g(x)仍为周期函数，否则f(x)g(x)不是周期函数。追问

请问这是什么定理？

追答

根据周期函数的定义不难理解。如果h(x)=h(x+T)，则h(x)是周期函数，且T为周期；所以h(x+T)=h(x+T+T)=h(x+2T)=h(x+2T+T)=h(x+3T)......，所以如果T是h(x)的周期，T的任意整数倍也是h(x)的周期（注意：是整数倍！！），多数情况下将最小的正周期称为h(x)的周期。
假定f(x)的周期为T1、g(x)的周期为T2，那么aT1也是f(x)的周期，bT2也是g(x)的周期，这里a、b均是正整数，所以f(x)g(x)=f(x+aT1)g(x+bT2)，所以如果存在正整数a和b，满足aT1=bT2=T，则f(x)g(x)=f(x+aT1)g(x+bT2)=f(x+T)g(x+T)，所以f(x)g(x)是周期函数；在实际问题中，先分别求f(x)和g(x)的最小正周期t1和t2，然后在求不定式at1=bt2的最小正整数解a和b，则t=at1=bt2即为f(x)g(x)的最小的正周期。
以本题为例，sinx的周期为2π，cosπx的周期为2，2aπ=2b显然没有整数解，所以sinxcosπx不是周期函数，即找不到t，使sinxcosπx=sin(x+t)cosπ(x+t)恒成立。

Answer 2

是周期函数。
sinx的周期是2π
cosπx的周期是2
二者相乘的周期是二者周期的乘积，即sinx*cosπx的周期为4π追问

请用4π作为周期试试看，看f（x）是否和f（x+4π）相等？

追答

不好意思，之前的回答错了。
sinx*cosπx不是周期函数。
两个周期函数相乘有周期的充要条件是：二者的周期T1/T2为有理数。而题中显然不满足这一条件，所以sinx*cosπx不是周期函数。

参考：百度百科——周期函数 定理5

参考资料：http://baike.baidu.com/view/447508.htm#2

本回答被网友采纳