联立抛物线与圆方程会出错

Question

前几天在尝试联立抛物线与圆方程来出现矛盾，求解释

Answer 1

解析如下图片所示，

然后，你看看一元二次方程「x^2+4x-4=0」的图像吧，它的两个解分别是x1=-2根号2-2、x2=2根号2-2，所以是两条平行于y轴的直线，你说说这两条直线难道不是分别关于x轴对称的么？当然了，对于直线而言，因为它是无限的，所以一般不会讨论关于x轴对称与否的问题。

所以，到这里就可以证明你的最后那句话是错误的了，那么你的结论和疑惑当然也是错误的了！

继续往下说。

你的推论和疑惑是，「从图像上看，两个交点关于x轴对称，所以前面的x^2+4x-4=0的判别式要=0。」，这里就把这个方程的解的意义搞错了。

首先你要知道，x=a（假设a为某实数，为常量），那么x=a代表的是一条平行于y轴的直线，在这条直线上y的范围是整个实数哦！所以说，就本题而言，虽然是有2个交点，但是这2个交点的x值都是同一个x值，结合上面的图像，能看懂吧？并不是什么x1和x2哦！

前面把「圆」和「抛物线」的方程联立起来的时候，你忽略了x和y的范围。从形式上看，联立前的圆的x和y的范围是[-2,2]，抛物线的x的范围是[0,+无穷]、y的范围是R。那么要想联立后的方程与联立前等价的话，x与y的范围就必须是联立前的x或y的范围的「交集」，这样，才可能同时满足圆和抛物线的方程。

联立后的一元二次方程「x^2+4x-4=0」的解，在R内有2个，但是并不是都满足联立前的圆以及抛物线的函数关系式的要求的，从上面的图像就可以看到左边的那个解是不满足的，所以只有右边的一个解才能满足圆以及抛物线的函数关系式，才能代入圆或抛物线的函数关系式计算出圆与抛物线的交点来。

至于为什么这两个交点关于x轴对称呢？你看图吧，圆是关于x轴对称的，抛物线是关于x轴对称的，它们的交点如果是2个的话，怎么可能不关于x轴对称呢？但是这两个交点（x,y1）、(x,y2)跟联立的一元二次方程的解的个数已经没有关系了啊！只能说这两个交点的横坐标x的值，满足联立的一元二次方程而已啊！千万不要把概念混淆起来了，自己反而把自己搞晕了！

所以，还是最开头说的，不知道你为什么有「两个交点关于x轴对称，所以一元二次方程的判别式=0」这样的结论？是什么时候记错了、记岔了吧？

希望能帮到你。

Answer 2

楼上说的对的，不知道为什么有人会去踩一下，有病吧。
将y^2=4x代入圆的方程的时候，忽略了x一定是大于0的条件，所以造成了增根。

Answer 3

你可以理解为当二次方程对未知数有限制时，判别式是不可用的。

Answer 4

y²＝4x，所以x≥0
联立方程只有一个正解x，对应y＝±√4x追答

联立方程的负解要舍去，所以只有一个解

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Answer 5

对对对，我今天刚刚发现的这个问题？用韦达定理求解，令抛物线p＞0，双根之和为负，而p＞0时两方程只有在x正半轴有交点，无解？？？