已知函数f(x)=x²-a的x次方(a大于0且a不等于1),当x属于(-1,1)时,f(x)小于1/2恒

Question

已知函数f(x)=x²-a的x次方(a大于0且a不等于1),当x属于(-1,1)时,f(x)小于1/2恒成立，则实数a的取值范围是（[1/2,1）∪（1,2]）

Answer 1

因为当x∈(-1,1)时，函数f(x)=x^2-a^x<1/2恒成立
所以当x∈(-1,1)时，g(x)=x^2-1/2<a^x=h(x)恒成立
所以当x∈(-1,1)时，max[g(x)]<min[h(x)]
因为函数g(x)=x^2-1/2在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且关于y轴对称
又因为当0<a<1时，函数h(x)=a^x在(-1,1)上单调递减；当a>1时，函数h(x)=a^x在(-1,1)上单调递增
所以
当0<a<1时，g(1)<=h(1)，即1^2-1/2<=a^1，所以a>=1/2
当a>1时，g(-1)<=h(-1)，即(-1)^2-1/2<=a^(-1)，所以a<=2
综上所述，实数a的取值范围是1/2<=a<1或者1<a<=2，即a∈[1/2,1)∪(1,2]