设n阶方阵A，B满足A+B=AB（1）证明A-E可逆且其逆阵为B-E；（2）若B＝200030004，求A；（3）等式AB=BA是否

Question

设n阶方阵A，B满足A+B=AB（1）证明A-E可逆且其逆阵为B-E；（2）若B＝200030004，求A；（3）等式AB=BA是否成立？为什么？

Answer 1

（1）由A+B=AB及（A-E）（B-E）=AB-A-B+E知
（A-E）（B-E）=E
故A-E可逆且其逆阵为B-E．
（2）由A+B=AB知A（B-E）=B，而
B?E＝

1 0 0 0 2 0 0 0 3

可逆，
故A=B（B-E）^-1=

2 0 0 0 3 0 0 0 4

1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3

＝

2 0 0 0 3 2 0 0 0 4 3

（3）等式AB=BA成立．
由（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E）=E，
故AB-A-B+E=BA-B-A+E
故AB=BA．

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示