正交矩阵与正交变换有什么关系

Question

如题所述

Answer 1

若T是正交矩阵，则线性变换y＝Tx称为正交变换.
设y＝Tx是正交变换，则有|y|=sqrt y'y=sqrt x'T'Tx=sqrt x'x=|x|

这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如
（ -cosa sina）
T= ( sina cosa)

为正交矩阵，正交变换y＝Tx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.