什么叫正交变换？为什么要正交变换

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。 

原因：

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。

行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

扩展资料

正交变换的性质：

1、正交变换不会改变向量间的正交性，如果  和  正交，则  和  亦为正交。

2、如果 和皆为正交矩阵，则  亦为正交矩阵。

3、如果为正交矩阵，  的反矩阵  亦为正交矩阵。

4、正交变换容易做反运算。

5、对于正交变换，如果  和  可以做内积，  和  做内积之值等于  和  做内积之值。

参考资料：百度百科-正交变换

Answer 2

1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交矩阵，即P的列(行)向量两两正交,且长度为1。

正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.

2.正交变换的作用：

①正交变换可以化二次型为标准型。在二次型中，我们希望找到一个可逆矩阵C，经可逆变换x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y变成标准型，也就是要使C^TAC为对角阵。

由实对称矩阵的对角化知，任给对称阵A，总有正交矩阵P，使P^（-1）AP为对角阵,因为正交矩阵P^（-1）=P^T，所以P^TAP为对角阵。

这样，如果我用的是正交变换x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy （其中，Λ为对角阵）了吗。如此一来，就用正交变换实现了二次型的标准化。

这是正交变换的第一个作用。

②正交变换可以研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E，所以对于正交变换x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的长度。

由此可见，经过正交变换后，|x|=|y|，即向量长度保持不变。

同理可证<Px，Py>=<x，y>，其中< ，>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后，两向量的内积不变，而刚刚证过，他们的长度也不变，所以两向量的交角不变。

由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以利用正交变换研究图形的几何性质。

这是正交变换的第二个作用。

完～打字好累～哦～

如有问题，欢迎追问。

Answer 3

正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换，包含旋转，轴对称及上述变换的复合。定义：n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。(A'表示A的转置，E是单位矩阵)
用正交变换,具有保持几何形状不变的优点!
分类
设A是n维欧式空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵
若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，
若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换。
等价刻画
设σ是n维欧式空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
1.σ是正交变换
2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨
3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基
4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵本回答被网友采纳

Answer 4

谈起正交变换，不知道模友们是否记得之前一篇文章——如何通过心形线快速认识秩的几何意义？里面提到一位很牛逼的数学家费罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius，1849-1917)。

Answer 5