已知函数fx=ln（x+3/2）+2/x，gx=lnx

Question

是否存在实数k，使得关于x的方程fx=k gx有两个不相等的实数根？如果存在求k，不存在说明理由。

Answer 1

fx=ln(x+3/2)+2/x
令h(x)=f(x)-kg(x)=ln(x+3/2)+2/x-kln(x)
定义域x>0
h'(x)=1/(x+3/2)-2/x²-k/x
=[x²-2(x+3/2)-kx(x+3/2)]/[(x+3/2)x²]
=(x²-2x-3-kx²-3kx/2)/[(x+3/2)x²]
∵x→0,h(x)→+∞

∴如只存在一个驻点x₀，且h(x₀)为最小值<0
x→+∞ f(x)→ln(x+3/2)-kln(x)>0
k≤1
h(x)必有两个零点。
(x²-2x-3-kx²-3kx/2)=0
x₀=(4+3k±√9k²-24k+64）/4(1-k)
=(4+3k±√(3k-4)²+48）/4(1-k)
∵当k<1时，4+3k-√(3k-4)²+48)恒小于0，4(1-k)>0,
∴x₁=(4+3k±√(3k-4)²+48）/4(1-k)恒小于0
定义域内只有一个驻点x₀=(4+3k+√9k²-24k+64）/4(1-k)
h(x₀)<0
通过迭代计算,K<-6.01
(对题目的理解有问题，不过解题思路应该是对的)